수학은 언어다. 수학에서 범위를 표현하는 방법

수학은 언어입니다. 자연현상을 표현하기 위한 언어이지요. 사람들이 하는 말은 사람들의 생각을 표현합니다. 사람의 마음속에서 일어나는 감정과 사람들이 보고 듣고 사고하는 것들을 표현할 수 있습니다. 그 대상은 물론 세상의 자연과 사회 사람의 내면등 사람이 접하는 세상의 모든 것이 될 수 있습니다. 하지만, 말로써 자연을 표현하는 것에는 한계가 있기 때문에 수학이라는 언어를 고안해서 자연을 표현하는 것이죠.

이렇게 자연을 표현하기 위해서 우리는 추상화라는 인간만의 고도의 사고방식을 이용합니다. 사과 1개 사과 2개 사과 3개와 같이 우리는 눈앞에 있는 사과의 갯수를 숫자로써 표현할 수 있습니다. 그리고 사과 5000개와 사과 100,000개와 같은 표현을 할 수 있습니다. 이 때 실제로 사과 100,000개를 본 사람이 있을까요? 하지만 사과 100,000개라는 표현을 우리는 사용하고 이해할 수 있습니다. 이는 사과라는 자연물을 숫자로써 대체해서 이해하고 상상할 수 있기 때문입니다. 이런 과정이 바로 추상화라고 할 수 있습니다. 곧 사과의 갯수를 숫자로 대체해서 생각을 할 수 있는 것이죠.

일단 이렇게 자연물을 추상화하고 나면 그 추상화된 숫자들을 이용해서 연산을 할 수가 있습니다. 사과 100,000를 사람들에게 나눠주고 나니 50,000개가 남았다면 몇개를 나눠준걸까요? 아주 쉽죠. 50,000개를 나눠 준 것입니다. 추상화된 개념들을 이용해서 생각속에서 상상해서 유추하는 것이 바로 수학의 본질이라고 할 수 있습니다. 우리는 금방 수학을 했습니다. 아주 쉽지만, 이것이 본질적으로는 수학의 전부라고 할 수 있습니다. 여기서 조금씩 응용이 파생되어 나가는 것이죠. 사과 100,000개를 2명이 똑같이 나누면 몇개씩 가질 수 있는가?라고 물으면 답은 50,000개입니다. 똑같이 나누기 때문에 2등분 하는 것이죠. 그럼 사과 100,000를 3명이서 똑같이 나눠가지면 몇개씩 나눠가지는가? 이렇게 물으면, 이제 더이상 자연수로는 해결을 할 수가 없습니다. 그래서 점점 더 많은 정의와 용어들의 정립이 필요한 것입니다. 이 문제는 다음기회에 천천히 다시 다루도록 하겠습니다.

오늘은 이런 수학이라는 언어를 이용해서 집합을 구분할 때 필요한 범위를 나누는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

수학에서는 이상, 초과, 이하, 미만 이라는 표현으로 범위를 표현합니다. 이 표현을 다시 풀어서 쓰면 이상은 같거나 크다, 초과는 크다, 이하는 같거나 작다, 미만은 작다라고 표현할 수 있습니다. 아까 이야기한 사과 이야기를 다시 해보겠습니다. 의사선생님이 약을 주면서

“개똥아, 이 알약은 세알 이상 먹으면 안돼”

라고 했으면 개똥이는 몇개까지 먹을 수 있을 까요? 두알이죠. 세알이상이라고 하면 세알도 포함되기 때문이죠. 그런데 다음 표현을 볼까요? 경찰이 과속단속을 할 때 이런 표현을 쓸 수 있겠죠.

“규정속도 120km 를 초과하셨습니다. "

그럼 120km까지는 괜찮지만 120.1km 120.001km 는 초과에 해당합니다. 엄밀하게 말하면 그렇죠.

즉 ‘이상’은 지칭되는 범위 자체를 포함하는 범위라고 할 수 있습니다.

‘초과는’ 지칭되는 범위 자체를 포함하지 않는 범위라고 할 수 있죠.

이쯤되면 이하와 미만에 대해서도 이해할 수 있습니다. 이하와 미만도 마찬가지입니다.

‘이하’는 지칭되는 범위 자체를 포함하는 범위, ‘미만’은 지칭되는 범위를 포함하지 않는 범위라고 할 수 있죠.

그럼 일상적인 표현이 아닌 수학적인 표현으로 다시 정리를 해보겠습니다.

1이상 5이하 자연수 = 1, 2, 3, 4, 5

1이상 5미만 자연수 = 1, 2, 3, 4

1초과 5이하 자연수 = 2, 3, 4, 5

1초과 5미만 자연수 = 2, 3, 4

이제 수학에서 범위를 표현하는 방법을 익혔습니다. 참 간단하죠.

그럼 다음 시간에는 오늘 시간에 나온 수의 개념에 대해서 한번 짚고 넘어가도록 하겠습니다. 자연수, 무리수와 같은 것들 말이죠.

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수학은 언어다. 수학에서 범위를 표현하는 방법

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